摘 要：本文建立了新型科氏質量流量計的力學模型，推導出其運動微分方程，并得到靈敏度計算表達式。

關鍵字：質量流量計 靈敏度 科里奧利力 波紋管

    1 引言

    本文所介紹的新型科氏質量流量計在普通U型管上裝入了波紋管，由于波紋管剛度較小，導致流量管兩側位移差較大，提高了靈敏度。科氏質量流量計的實際振動形態很難用精確的函數表示，而一些近似的振動形式已經能夠保證計算精度，本文在保持原結構的結構特征和受力特點不失真的前提下，建立了其力學模型，推導出運動微分方程，分析了靈敏度。

    2 結構與工作原理

    如圖1所示，電磁激振器驅動U型管振動，被檢測流體以質量流量Q_m流過管內。由于管的彎曲振動，管內流體產生了科氏加速度，流體每一個微元受到與科氏加速度相應的科氏力的作用，其反作用力作用于U型管。由于在管的兩側液體流速相反，所以受到方向相反的科氏力的作用，從而使U型管發生相對扭轉變形，產生扭轉振動。此扭轉振動疊加在彎曲振動上，使管上B、D兩個檢測點通過振動中心有一個時間差Δt（通過檢測器測出），（φ·2R=z_B^&·Δt，式中z_B^&為B截面通過振動中心的速度，（φ為扭角，是Q_m的表達式，從而可由上式得到質量流量。

    3 方程推導

    力學模型如圖2所示。A、E端為固定端，C處受電磁驅動力F的作用，F=Pcosωt。由于波紋管的剛度遠小于鋼管，其變形遠大于鋼管，結構近似彈簧質量系統，鋼管部分視為剛體，波紋管視為彈簧，其運動分為繞x軸的振動和繞y軸的振動兩個獨立運動。

    3.1 繞x軸的振動微分方程的推導

    繞x軸的運動近似為如圖3所示的彈簧質量系統。

    圖中N_x為彈性回復力，F_dx為空氣阻力，F為電磁激振力。

    運動微分方程可寫為：

    J_xθ+C_xθ+K_xθ=M₀cosωt    （1）

    式中：J_x--系統對x軸的轉動慣量；
          C_x--等效粘性阻尼系數；
          K_x--系統的剛性系數；
          M₀cosωt--激振力產生的彎矩[M₀=P（L₁+L₂+R）]。

    3.1.1 方程（1）系數的計算

    （1）J_x的計算
    
    設波紋管單位長度上的質量為，鋼管單位長度上的質量為，將其分為三部分計算（兩個波紋管為第一部分，兩段直管為第二部分，半圓為第三部分）。

    

    計算第三部分轉動慣量：

    半圓繞x′軸的轉動慣量為
    質心到x′軸的距離：

    

    繞質心的轉動慣量為

    

    （2）阻尼系數C_x的確定

    將方程（1）化為標準方程得，

    

    通過實驗測量有阻尼自由振動的振幅X_i和周期T，則得減幅系數，將（2）式代入得：

    

    這種方法簡單且誤差較小。

    （3）K_x的計算

    如圖5，設單個波紋管的彈性系數為k′，懸臂波紋管在懸臂端受橫向力Q和橫向位移y之間的關系^[1，2]為。

    因系統為兩根波紋管并聯，所以系統的彈性系數

    3.1.2 方程（1）的求解

    方程（1）的特解表達式為：

    θ（t）=θ_xCOS（ωt-d）      （3）

    振幅：

    

    α為相位角。

    3.2 繞y軸的振動微分方程的推導

    近似的彈簧質量系統如圖6所示，圖中F_c為科氏力，F_d為空氣阻力，N為彈性回復力。

    運動微分方程可寫為：

    J_yφ+C_yφ+K_yφ=T₀sin（ωt-α）     （4）

    式中：J_y--系統相對Y軸的轉動慣量；
          C_y--等效粘性阻尼系數；
          K_y—扭轉振動系統的剛性系數；T0sin（ωt-
          T₀sin（cotω-α）--科氏力產生的扭矩。

    3.2.1 扭矩的計算

    如圖2，直管內流體質量元dm產生科氏力大小為：

    

    式中ρ為流體密度，A為截面面積，v為流體流速。

    

    半圓管內流體質量元產生的科氏力大小為：

    

    3.2.2 方程（4）的系數計算

    （1）J_y的計算

    將流量管仍然分為同樣的三部分計算，

    

    （2）計算K_y

    波紋管仍然受彎，計算方法與繞x軸振動相同，
 
    （3）阻尼系數C_y的確定

    C_y確定方法與C_x完全相同，不再詳述。

    3.2.3 方程（4）的求解

    方程（4）特解為：
    
    φ（t）=Φsin（ωt-α-β） （6）

    振幅：

    

    β為相位角。

    4 靈敏度的計算

    B點速度：

    Z_B=（L₁+L₂）θ（t）     （8）

    將式（3）、（5）、（6）、（7）、（8）代入得：

    

    合理設計管子結構和選擇材料、參數及在弱阻尼情況下，可取α、β為零，式（9）化為：

    

    所以靈敏度：

    

    此方法經過實例驗證，證明了其正確性。

    參考文獻

    [1] 樊大鈞，劉廣玉.新型彈性敏感元件設計[M].北京：國防工業出版社。1995：372-377.
    [2] 清華大學工程力學系固體力學教研組振動組.機械振動[M].北京：機械工業出版社，1980：54-57.
    [3] 樊大鈞.波紋管設計學[M].北京：北京理工大學出版社.1995：265-268.
    [4] 范本雋，周一屆.U型科里奧利質量流量計的力學分析與靈敏度計算[J].無錫輕工大學學報，1998，17（4）：81-85