摘 要：主要講述應用最小二乘法分析擬合質量流量計（MFC）的工作曲線，以完善流量計的使用操作參數。首先根據已有的工作曲線通過擬合找出設定流量（msetting）—工作時間（t）的變化規律，再根據此規律擬合找到流量計的設定流量（m）穩定時間（tsteady）曲線。并根據此結果指導流量計實際的工藝參數設定調整。

關鍵字：最小二乘法 曲線擬合 質量流量計

    1 引言

    美國Emerson公司的Brooks 5850系列質量流量計是UHP（包括半導體）行業常用的流量控制儀器之一。此種儀器采用熱質量流量感知技術，具有反應速度快，靈敏度高，精度高等特點。

    此種流量計有自己的一套工作曲線。如圖1所示。圖中明顯表明，當流量進行切換時，會存在一個時間的滯后，即流量計經過一定時間才會達到新的設定值。如流量由0到滿量程時流量要經過6s左右才達到設定值，由0到滿量程的20%也要3s左右。設定值變化的差越大，達到設定值的時間也越長。因此如何在實際的使用中避免這種流量滯后帶來的影響，更好的使用此種流量計，對外延工作有重要的意義。

    此工作曲線上，部分設定流量變化與穩定時間的特性曲線已經描繪出來，但對實際生產使用來說，數據不夠全面。在實際生產中，特別是在設計工藝時，希望有確切的數學表達式。這里就是利用最小二乘法擬合的方法得到了設定流量m_setting與時間t的關系式以及流量計的流量m與滯后的穩定時間t_steady的關系。

    2 最小二乘法原理

    下面用最小二乘法的曲線擬合技術對此圖的工作曲線進行仔細分析，并設法得到更多的數據。

    在科學實驗及統計方法的研究中，由于因素的復雜性或其他原因，往往難以得到量與量之間一種完全確定的關系。常常只能從系統運行中采集到反應變量x和y之間的關系的一些數據。而不能確切的知道函數的表達式，然而對系統的運行作某些定量分析，又常常需要函數表達式。最小二乘法是一個目前最常用的解決手段之一。

    應用最小二乘法的原理是對給定的一組數據：

    （x₁，y₁）=1，2，…，p

    在函數類Φspan（Φ₁，Φ₂，…，Φ_n）中找到一個函數使其誤差的平方和滿足：

    

    其中：S（x）= a₀Φ₀（x） + a₁Φ₁（x） + … + a_nΦ_n（x）（n≤m）

    W（x）是[a，b]上的權函數，點（x_i，y₁）處的權W（x_i）表示該點數據的重要程度。求解最小二乘曲線問題，可轉化為求多元函數的極值問題：

    

    3 最小二乘法在流量計工作曲線分析中的具體應用

    從圖1特性曲線的線形來看，可用非線性最小二乘擬合。設定公式：

    m= ae^bt （1）

    首先對第一個流量變化0~100%量程的變化。進行擬合。在曲線上取五個點，如表1。

    表1 設定流量為滿量程時的流量變化過程

I	0	1	2	3	4	5
t1	0	1	2	3	4	5
M1	0	86.00	96.00	99.00	99.50	99.90

    求得擬合曲線為：

    m_{setting，100} = 87.2373e ^{0.0319（t）}       （2）

    對于此種流量計，當其流量從20%變為80%時，根據傳感器的作用公式：

    △T = A·P·Cp·m                    （3）

    式中：△T 為傳感器探測到的溫度差。
          Cp 為在恒定壓力下的氣體比熱。
          P 為加熱器功率。
          M 是質量流量。
          A 為比例常數。

    把（3）式變換后得：

    d（△T）= A·P·Cp·（dm）         （4）

    即流量的變化對結果的影響只與流量的變化范圍相關，與具體流量的位置無關。即流量從20%變為80%時與流量從0%變為60%時相同。

    由圖1中流量數據曲線，當流量從0變到20%量程時：

    m_setting，20 = 14.7420e^{0.1071（t）}      （5）

    當流量從20%變到80%量程時的曲線，即相當于流量從0變為60%時：

    m_setting，60 = 50.1442e^{0.0399（t）}     （6）

    所以得到表2的數據。

    表2 設定流量變化范圍與擬合公式參數之間的對應表

設定流量變化范圍	0 - 20%	0 - 60%	0 - 100%
擬合公式的系數a	14.7421	50.1442	87.2047
擬合公式的系數b	0.1107	0.0399	0.0320

    表中只有三個設定流量隨時間的變化關系，而進行實際應用時，會用到各種流量設定制。因此再應用最小二乘法中的多項式擬合過程對以上數據進行擬合，用以得到系數a，b與所有流量的變化關系式。擬合后a的關系式為：

    a = -2.1304+0.8436m_setting + 0.0005180m_setting²                                 （7）

    擬合后b的關系式為：

    b = 0.1697-0.003343m_setting + 0.00001966m_setting²                              （8）

    結果得到擬合后的關系式：

             （9）

    此關系式即是設定流量與各自設定流量相關的滯后時間的關系式。應用（9）式可推導出設定流量變化為

    m_setting，50 = 41.35e^0.0517t                 （10）

    即當流量變化50%時，流量計是4.05s達到新的設定值。同理，當設定流量變化80%時：

    m_setting，80 = 68.6728e^0.02808t           （11）

    則當流量變化80%時，流量計要5.44s達到新的設定值。

    從圖2可以看出，擬合的設定流量的工作曲線與實際圖1的工作曲線十分接近。

    表3 設定流量變化與滯后的穩定時間的對應表

流量	0	20	50	60	80	100
穩定時間	0	2.80	4.05	5.00	5.44	6.00

    把上述表格作曲線擬合，得到：

    t_steady = 0.0188-0.0056m + 0.2213m² + 0.0001m³               （12）

    此公式即是流量變化與所要的穩定時間t_steady的關系式。應用此公式，即可以用于平時的操作使用中。擬合后的圖形見圖3。

    4 結論

    在MOCVD生長過程中，經常會用到源的切換與流量的變化，進行這些操作時，如果流量變化而引起的流量穩定所要的時間會對生長有很大的影響。比如在生長超晶格量子阱結構，或者VCSEL的反射鏡時，需要很多界面分明的薄層，如果反應源切換的不及時，由于外延材料處在高溫反應室內，長時間的高溫可能造成外延層表面及界面質量的破壞，此時能及時通入反應物原料在實際操作中顯得意義重大。當流量有50%的變化時，通過計算得到流量的穩定時間是5s，從而節省材料空置加熱時間。因此，公式（9）與公式（12）在實際操作中有很大的作用。

    5 討論

    根據此流量計內的傳感器的作用公式（3），不論是混合氣還是單一組分氣體，當組分恒定時，即d（Cp）=0時，上述推導是成立的。如果通過的氣體的組分是隨時間變化的，則公式（4）應變為如下形式：

    d（△T） = A·P·d（Cp·m ）          （13）

    此時流量的變化對結果的影響不只與流量的變化范圍相關，還與具體流動的成分相關。則此時，流量變化后需要的穩定時間，既與流量變化有關，又和具體的氣體相關。對于工藝上常用的氣體：如氦氣，氮氣，氫氣，氧氣等，在常壓或低壓時，近似于理想氣體，則Cp=k·R（k=3/2，5/2等），是固定的數值，如果氣體組分變化是有規律的，即d（Cp）是可確定的，則穩定時間與設定值的關系還是可以找到的。如果組分隨機變化，d（Cp）無法確定時，此時即使流量計的值設定不變時，由公式（13）也可知道，流量計的流量是波動的。波動的流量范圍與組分隨機變化的量相關。

    參考文獻

    [1] 黃鐸，陳蘭平，王風.數值分析.北京：科學出版社，2000.
    [2] 云舟工作室.MATLAB數學建模基礎教程.北京：人民郵電出版社，2001.