摘 要：HK-CMF科氏力質(zhì)量流量計(jì)的質(zhì)量流量和密度參量的溫度系數(shù)，與其材料的線膨脹系數(shù)和楊氏模量的溫度系數(shù)有關(guān)，并可由諧振頻率的溫度系數(shù)求出：當(dāng)采用1Cr18Ni9Ti時(shí)，在-10℃~60℃的溫度范圍內(nèi)，質(zhì)量流量參數(shù)的溫度系數(shù)是-4.24×10^-4/℃ 。密度參數(shù)的溫度系數(shù)是+4.24×10^-4/℃。

關(guān)鍵字：HKC科氏力質(zhì)量流量計(jì) 質(zhì)量流量溫度系數(shù) 諧振頻率

    HK-CMF科氏力質(zhì)量流量計(jì)的振動(dòng)管，是在諧振的狀態(tài)下工作。其諧振頻率與振動(dòng)管的幾何尺寸、材料的楊氏模量（或剪切模量）有關(guān)。楊氏模量（或剪切橫量）又都與溫度有關(guān)，故HKC科氏力質(zhì)量流量HK-CMF度修正。并且要用實(shí)驗(yàn)求出HKC科氏力質(zhì)量流量計(jì)的質(zhì)量流量和密度示值的溫度修正系數(shù)。

    1 振動(dòng)管固有頻率與楊氏模量（或剪切模量）溫度系數(shù)、材料線脹系數(shù)的關(guān)系

    當(dāng)振動(dòng)管在其一次振型（同相位）振動(dòng)時(shí)，這時(shí)的固有頻率f₀₁可用下式表達(dá)：

    

    式中K為彈性系數(shù)，m為質(zhì)量，l為振動(dòng)管的等效長(zhǎng)度，D、d為振動(dòng)管的外徑、內(nèi)徑，E為楊氏模量。如果我們考慮楊氏模量E的溫度影響和振動(dòng)管的尺寸溫度影響，前式可表達(dá)為：

    

    若不考慮溫度引起的高次項(xiàng)的影響時(shí)，則上式可表達(dá)為：

    

    我們以0℃為參考點(diǎn)，則上式在0℃時(shí)為：

    

    比較溫度在0℃和t時(shí)f₀₁兩公式的差異，我們可以得出下式：

    1 + 2α_ft = 1 +（α_E+α）t

    所以

    α_E = 2α_f  - α           （1）

    在（1）式中，α_E為楊氏模量的溫度系數(shù)，α_f為振動(dòng)管在一次振型諧振頻率處，諧振頻率的溫度系數(shù)。α為振動(dòng)管材料的線脹系數(shù)，1Cr₁₈Ni9Ti的α= 1.6×10^-5/℃。

    當(dāng)振動(dòng)管在其三次振型（異相）處扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí).這時(shí)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率為，可以表達(dá)為下式：

    

    式中K_G為扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)，G為剪切彈性模量，r_i為某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，m₁為某點(diǎn)的質(zhì)量。如果也考慮溫度影響時(shí)，上式可表達(dá)為：

    

    這時(shí)我們也以0℃為參考點(diǎn)，同樣可以得到下式：

    1 + 2α_ft = 1 + α_Gt + αt

    所以

    α_G = 2α_f - α         （2）

    （2）式中α_G為剪切彈性模量的溫度系數(shù)，α_f此時(shí)為振動(dòng)管在三次振型（異相）下固有頻率的溫度系數(shù)。

    比較（1）、（2）式，發(fā)現(xiàn)兩者形式相同，不同的是（1）式的α_f是在振動(dòng)管的一次振型（同相）固有頻率f₀₁下求得，（2）式中的α_f是在振動(dòng)管三次振型（異相）固有頻率f₀₃下求得。

    2 實(shí)驗(yàn)

    2.1 求楊氏模量E的溫度系數(shù)α_E

    我們讓HK-CMF科氏力質(zhì)量流量計(jì)（未封外殼）振動(dòng)管充滿空氣，放入精密控溫箱內(nèi)，控溫精度為±0.5℃。用質(zhì)量流量計(jì)的變送器測(cè)量f₀₁的頻率值，準(zhǔn)確度為±0.01Hz。當(dāng)改變控溫箱的溫度時(shí)，可測(cè)得不同的頻率。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1。

    表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

    從表1可以看到，求出的α_f是非線性的，我們只能取其平均值。非線性的原因，在參數(shù)資料（1）中已有分析。按照公式（1），我們可以求出：

    α_E = 2α_f - α = -4.08×10^-4/℃ （平均值）

    2.2 求剪切彈性模量G的溫度系數(shù)α_G

    同樣讓HK-CMF科氏力質(zhì)量流量計(jì)（未封外殼）充滿空氣，放入精密控溫箱內(nèi)。將質(zhì)量流量計(jì)的一個(gè)速度傳感器之信號(hào)作為控制信號(hào)，將另一個(gè)速度傳感器作為力矩器使用，使質(zhì)量流量計(jì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)（共振）。改變控溫箱的溫度，則可得到不同的扭振諧振頻率。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示。

    表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

    從表2可以看到，在f₀₃處求到的溫度系數(shù)α_f也是非線性的，根據(jù)式（2），我們可以求出：

    α_G = -4.09×10^-4/℃ （平均值）

    2.3 在溫度影響下，f₀₃與f₀₁的關(guān)系

    我們將表1與表2的頻率數(shù)據(jù)合成為一個(gè)表，如表3所示。

    表3 諧振頻率的比值

溫度（℃）	-10	0	20	40	60
同相振動(dòng)f01（Hz）	132.88	132.61	132.07	131.50	139.91
異相振動(dòng)f03（Hz）	223.19	222.74	221.82	220.87	219.88
f03/f01	1.6796	1.6797	1.6796	1.6796	1.6796

    從表3的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)溫度變化時(shí)，HKC科氏力質(zhì)量流量計(jì)振動(dòng)管的固有頻率f₀₁、f₀₃都要跟著變化，但是，在實(shí)驗(yàn)的溫度范圍內(nèi)，f₀₃/f₀₁為一常數(shù)。這說明諧振系統(tǒng)的阻尼很小，楊氏模量和剪切彈性模量的溫度系數(shù)相等，機(jī)械放大倍數(shù)基本不變。

    2.4 實(shí)驗(yàn)的影響因素

    以上的實(shí)驗(yàn)，我們都是假定空氣的密度ρ=0，我們查表可知，在常壓下，-13.15℃時(shí)空氣的密度值ρ=1.3587kg/m³，在66.85℃得，空氣ρ=1.0382kg/m³，在此80℃的溫度范圍內(nèi)，空氣密度值的平均變化量為-4.01×10^-3kg/m³/℃，振動(dòng)管材為1Cr₁₈Ni₉Ti，其ρ=8000kg/m³，因此改變溫度時(shí)，由于空氣密度變化帶來的影響為-5×10^-7/℃。可以忽略。

    最大的誤差來源是變送器的頻率測(cè)量誤差（±0.01Hz），和精密控溫箱的控溫溫度（±0.5℃）。

    3 HK-CMF科氏力質(zhì)量流量計(jì)密度和質(zhì)量流量的溫度修正系數(shù)

    在HK-CMF科氏力質(zhì)量流量計(jì)中，未加溫度修正的密度測(cè)量公式為：

             （3）

    

    式中T₀₁、T₀₂分別為在0℃時(shí)振動(dòng)管中充滿空氣和水的固有周期。T為某種介質(zhì)測(cè)量時(shí)的固有周期。從上式我們可以知道，對(duì)所測(cè)固有周期T的修正，就是對(duì)所測(cè)密度值ρ的修正。周期和頻率的關(guān)系如下：

    

    所以

    α_T = -α_f

    上式中的α_T為周期的溫度系數(shù)。有溫度修正的密度測(cè)量公式應(yīng)為：

    ρ（1+α_ρt）= aT²（1-2α_ft）-b        （4）

    因?yàn)?

    ρ= aT² - b

    所以

    ρ（α_ρt）= T²（-2α_ft）

    α_ρ = -2α_f                           （5）

    從前面實(shí)驗(yàn)（-10℃~60℃）所得的平均值：

    -2α_f = +4.24×10^-4/℃

    故輸入到變送器中的密度溫度修正系數(shù)應(yīng)為：

    α_ρ = 4.24×10^-4/℃

    4 HKC科氏力質(zhì)量流量計(jì)質(zhì)量流量示值的溫度修正

    HKC科氏力質(zhì)量流量計(jì)質(zhì)量流量的表示公式為：

            （6）

    雖然（6）式是由某一分析單元得出的表達(dá)式，但對(duì)大多數(shù)不同形狀的振動(dòng)管，其真正的質(zhì)量流量表達(dá)式，也無非是在（6）式的基礎(chǔ)上，乘上某一不同的常數(shù)，因此對(duì)溫度影響的分析不會(huì)產(chǎn)生影響。式中的r為分析點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。考慮溫度的影響，（6）式可表達(dá)為：

    

    考慮也是以0℃為參考點(diǎn)，則可得到：

    α_Q =α_G + α = 2α_f          （7）

    （7）式中α_Q為質(zhì)量流量示值的溫度修正系數(shù)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，α_Q = 2α_f = -4.25×10^-4/℃（計(jì)算值為α_Q = -4.245×10^-4/℃ ）。

    5 結(jié)論

    （a）在（-10℃~60℃）范圍內(nèi)，考慮到頻率測(cè)量準(zhǔn)確度為±0.01Hz，控溫精度為±0.5℃，在此實(shí)驗(yàn)條件下，楊氏模量和剪切模量的溫度系數(shù)是相等的。

    α_E = α_G = -4.08×10^-4/℃ （相差僅為1×10^-6）

    因?yàn)?

    

    μ為泊松比，α_E與α_G也應(yīng)該相等。

    （b）在不同溫度下（-10℃~60℃），f₀₃/f₀₁為常數(shù)，這進(jìn)一步證明α_E和α_Q相等，并且諧振系統(tǒng)的阻尼很小，機(jī)械放大倍數(shù)基本不變。
    （c）輸?shù)阶兯推髦械拿芏葴囟刃拚禂?shù)與質(zhì)量流量溫度修正系數(shù)，其絕對(duì)值同為振動(dòng)管諧振頻溫度修正系數(shù)α_f的兩倍，只是密度溫度修正系數(shù)為正值，質(zhì)量流量溫度修正系數(shù)為負(fù)值。
    （d）由于頻率溫度修正系數(shù)的非線性問題，故要根據(jù)實(shí)用的溫度使用范圍來取平均值。用1Cr₁₈Ni₉Ti材料做的振動(dòng)管，在-10℃~60℃的范圍內(nèi)，密度溫度修正系數(shù)為+4.24×10^-4/℃，質(zhì)量流量的溫度修正系數(shù)為-4.24×10^-4/℃。